可测函数和连续函数是函数论中两个重要概念。它们的关系在数学分析、实分析、测度论和概率论等领域中都有研究和应用。下面介绍可测函数和连续函数的定义和关系。
可测函数是测度论中的一个概念。设$(x,\mathcal{a})$是可测空间，$(y,\mathcal{b})$是度量空间。如果函数$f:x\rightarrowy$满足对于任意的$b\in\mathcal{b}$，有$f\^{-1}(b)\in\mathcal{a}$，则称$f$是可测函数。可测函数是在测度论界限下讨论函数的概念，而不依赖于函数是否是连续的。
连续函数是分析中的一个概念。设$(x,d_x)$和$(y,d_y)$是度量空间，函数$f:x\rightarrowy$，则$f$是连续的，当且仅当满足下面两个条件：(1)对于任意$x_0\inx$和$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得$d_x(x,x_0)<\delta$时，有$d_y(f(x),f(x_0))<\epsilon$。(2)对任意$x_0\inx$，$\lim\_{x\rightarrowx_0}f(x)=f(x_0)$。
从上述定义可以看出，连续函数首先是定义在度量空间上的，而可测函数仅依赖于点集的可测性质。因此，可测函数是一种更广泛的函数类，而连续函数是可测函数的一个特例。
如果一个函数是连续的，则它一定是可测的。这是因为，连续函数在任意$b\in\mathcal{b}$下是一个开集，即$f\^{-1}(b)$具有可测性。反过来，可测函数不一定是连续函数。例如，函数$f:\mathbb{r}\rightarrow\mathbb{r}$，$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{q}\\0,&x\notin\mathbb{q}\end{cases}$是可测函数，但在任意$x_0\in\mathbb{r}$下极限$\lim\_{x\rightarrowx_0}f(x)$并不存在，因此不是连续函数。
总结：可测函数和连续函数是函数论中的两个基本概念。连续函数是可测函数的一个特例，每个连续函数都是可测函数，但可测函数不一定是连续函数。两者之间的关系是可测函数具有更广泛的适用范围，而连续函数则具有更多的解析性质。在分析、实分析、测度论和概率论等领域中，可测函数和连续函数都有研究和应用。
